Giải quyết vấn đề theo cách mẫu mực có thể trở nên phức tạp

Hãy tính tổng chiều dài các đoạn sau : P1Q1 + P2Q2 + P3Q3 + ... trong hình dưới đây. Biết PiQi vuông góc với AB, PiQi+1 vuông góc với AP1, góc A trong tam giác ABP1 là 30 độ, AP1 = 2.

Cách giải mẫu mực : Với các thông số trên bằng quan hệ lượng giác ta sẽ tính được : P1Q1 = 1, P2Q2 = 3/4, P3Q3 = (3/4)^2, PiQi = (3/4)^(i-1). Suy ra : P1Q1 + P2Q2 + P3Q3 + ... = lim [ n->inf ] [1-(3/4)^n]/[1-3/4] = 4 Inf : vô cùng. Cách giải này quá phức tạp. Với cách giải khác : Ta thấy : P1Q1 = P1P2*cos(60) = 2*P1P2; P2Q2 = P2P3*cos(60) = 2*P2P3; PiQi = PiP(i+1)*cos(60) = 2*PiP(i+1); PnQn = PnA*cos(60) = 2*PnA; n là vô cùng lớn; Tính tổng các vế trên, ta được: P1Q1 + P2Q2 + ... + PiQi + ... + PnQn = 2*P1P2 + 2*P2P3 + 2*P3Pi + ... + 2*PiA = 2*(P1P2 + P2P3 + P3Pi + ... + PiA) Tổng các đoạn (P1P2 + P2P3 + P3Pi + ... + PiA) là P1A = 2 nên : P1Q1 + P2Q2 + ... + PiQi + ... + PnQn = 2*2 = 4